¶ ۲.۱ · ولتاژ گره با چند منبع
English · برنامهٔ درسی · راهنمای هفتهٔ ۵ · فهرست درسها
¶ هدفهای یادگیری
گرهها را نسبت به یک مرجع مشترک برچسب بزنید، برای چند شاخه معادلهٔ علامتدار KCL بنویسید و جهت واقعی جریانها را از حل به دست آورید. پاسخ را با قانون جریان، توان و یک کران مناسب بررسی کنید. فرض میکنیم منبعهای DC ایدهآلاند و مقاومتها مثبت و ثابتاند.
¶ از نقشهٔ مدار تا یک معادله
در هفتهٔ چهارم، ولتاژ گره را در تقسیمکننده بررسی کردید. شاخهٔ منبع دوم ممکن است به گره جریان بدهد یا از آن جریان بگیرد. حتی اگر منبعها مرجع مشترک داشته باشند، مقاومتهای سری آنها معمولاً مانع تبدیل کل شبکه به یک زنجیرهٔ سری میشوند. پایانههای متصل با سیم ایدهآل را پیدا کنید. تمام نقاط یک سیم بدون قطعهٔ میانی، ولتاژ یکسان دارند.
مسیر برگشت مشترک را صفر ولت بگیرید و گره مجهول را v بنامید. اگر انتهای دیگر مقاومت R ولتاژ معلوم Vₖ داشته باشد، پیکان از v به آن انتها جریان Iₖ = (v − Vₖ)/R را تعریف میکند. عدد منفی یعنی جریان واقعی خلاف پیکان است. همان عبارت علامتدار را در KCL نگه دارید. عوض کردن علامت بر اساس حدسِ جهت، جهت را دوبار به حساب میآورد.
شاخهٔ مقاومتی به زمین جریان v/R دارد. جریان تزریقشده به گره را J بگیرید و برای جریانکش J منفی بگذارید. مجموع جریانهای مقاومتی خروجی برابر J است. با باز کردن معادله به رابطهٔ زیر میرسیم.
v = (Σ GₖVₖ + J)/(Σ Gₖ), Gₖ = 1/Rₖ
ولت، کیلواهم، میلیزیمنس و میلیآمپر را سازگار به کار ببرید. معکوس ۶ کیلواهم، یکششم میلیزیمنس است و اختلاف ۳ ولت روی ۶ کیلواهم، ۰٫۵ میلیآمپر میدهد. صورت کسر واحد جریان دارد، چون رسانایی ضربدر ولتاژ جریان است. تقسیم آن بر مجموع رساناییها ولتاژ میدهد.
¶ مثال ۱ · دو شاخهٔ ولتاژ و یک بار
گره v از طریق ۶ کیلواهم به ۱۲ ولت، از طریق ۳ کیلواهم به ۳ ولت و از طریق ۶ کیلواهم به زمین وصل است. J را صفر بگیرید. با پیکانهای خروجی، معادلهٔ جریان بر حسب میلیآمپر چنین است:
(v − 12)/6 + (v − 3)/3 + v/6 = 0
با ضرب در ۶ داریم 4v − 18 = 0، پس v برابر ۴٫۵ ولت است.
| شاخه | جریان علامتدار خروجی از v | جهت واقعی |
|---|---|---|
| خط ۱۲ ولت | ۱٫۲۵− میلیآمپر | به سوی v |
| خط ۳ ولت | ۰٫۵ میلیآمپر | به سوی خط ۳ ولت |
| زمین | ۰٫۷۵ میلیآمپر | به سوی زمین |
کنترل جریان −1.25 + 0.5 + 0.75 = 0 mA است. منبع ۱۲ ولت، ۱۵ میلیوات میدهد. منبع ۳ ولت، ۱٫۵ میلیوات جذب میکند زیرا جریان به پایانهٔ مثبت آن وارد میشود. توان مقاومتها ۹٫۳۷۵، ۰٫۷۵ و ۳٫۳۷۵ میلیوات است. مجموع ۱۳٫۵ میلیواتِ مقاومتها و ۱٫۵ میلیواتِ منبع گیرنده، همان ۱۵ میلیوات است.
¶ مثال ۲ · افزودن تزریق جریان
سه شاخه را نگه دارید و ۱ میلیآمپر از زمین به v تزریق کنید. معادله به 4v − 18 = 6 تبدیل میشود و v برابر ۶ ولت است. جریانهای خروجی مقاومتی ۱−، ۱ و ۱ میلیآمپرند و مجموع آنها ۱ میلیآمپر است. رسانایی کل دوسوم میلیزیمنس است. بنابراین افزایش تزریق به اندازهٔ ۱ میلیآمپر، ولتاژ را ۱٫۵ ولت بالا میبرد. جهت پیکان منبع علامت تغییر را تعیین میکند.
¶ مثال ۳ · جریانکش، ولتاژ را به زیر صفر میبرد
به جای تزریق، جریانکش ۴ میلیآمپری بگذارید. حالا J برابر ۴− میلیآمپر است و 4v − 18 = −24. ولتاژ ۱٫۵− ولت با مدل ایدهآل سازگار است. جریانهای خروجی مقاومتها ۲٫۲۵−، ۱٫۵− و ۰٫۲۵− میلیآمپرند. مجموع ۴− است، پس مقاومتها جریان لازم برای جریانکش را تأمین میکنند. حتی جریان شاخهٔ زمین به سوی v است، چون انتهای صفر ولتی پتانسیل بالاتری دارد.
وقتی تزریق صفر باشد، رابطه میانگین وزنی ولتاژهای متصل است و رساناییهای مثبت وزنها هستند. ولتاژ باید بین کوچکترین و بزرگترین ولتاژهای متصل بماند. پس از افزودن منبع جریان، این کران لزوماً برقرار نیست.
¶ مثال ۴ · افزایش بار
J را دوباره صفر کنید و فقط مقاومت بار را به ۳ کیلواهم تغییر دهید. از (v − 12)/6 + (v − 3)/3 + v/3 = 0 داریم 5v = 18 و v برابر ۳٫۶ ولت است. جریانها ۱٫۴−، ۰٫۲ و ۱٫۲ میلیآمپرند. مقاومت بار کوچکتر، وزن زمین را بیشتر و ولتاژ گره را کمتر میکند. با افت ولتاژ، جریان بار از ۰٫۷۵ به ۱٫۲ میلیآمپر افزایش یافت.
¶ تمرین
۱ تا ۶ را مستقل حل کنید. تمرینهای ۷ و ۸ اختیاریاند.
- گره v را با ۳ کیلواهم به ۹ ولت و با ۶ کیلواهم به زمین وصل کنید. معادله، v و دو جریان را بیابید.
- در مثال ۱، خط ۳ ولت را به ۶ ولت تغییر دهید. v و همهٔ جریانها را بیابید.
- در مثال ۱، ۲ میلیآمپر تزریق کنید. v و مجموع جریانهای خروجی را بررسی کنید.
- در مثال ۱، چه Jای ولتاژ گره را صفر میکند؟
- در مثال ۱، شاخهٔ مقاومت به زمین را باز کنید. ولتاژ و جریان دو شاخه را بیابید.
- v را با ۲ کیلواهم به ۸ ولت و با ۲ کیلواهم به زمین وصل کنید و جریانکش ۱ میلیآمپری بگذارید. ولتاژ و KCL را بررسی کنید.
- بدون تزریق، اگر یکی از مقاومتها به صفر نزدیک شود و بقیه ثابت و مثبت بمانند، چه بر سر v میآید؟
- در مثال ۱، در چه Jای جریان شاخهٔ ۳ ولت صفر میشود؟ چرا جهت جریان آنجا عوض میشود؟
¶ پاسخهای تشریحی
- از (v − 9)/3 + v/6 = 0، ولتاژ ۶ ولت و جریانهای خروجی ۱− و ۱ میلیآمپر به دست میآیند.
- 4v − 24 = 0 یعنی ۶ ولت. جریانها ۱−، صفر و ۱ میلیآمپرند.
- از 4v − 18 = 12 ولتاژ ۷٫۵ ولت است. جریانهای ۰٫۷۵−، ۱٫۵ و ۱٫۲۵ میلیآمپر مجموعاً ۲ میشوند.
- با جایگذاری صفر، J = −12/6 − 3/3 = −3 mA. جریانکش لازم است.
- (v − 12)/6 + (v − 3)/3 = 0 ولتاژ ۶ ولت و جریانهای ۱− و ۱ میلیآمپر میدهد.
- (v − 8)/2 + v/2 = −1، پس v برابر ۳ ولت است. جریانهای ۲٫۵− و ۱٫۵ میلیآمپر به ۱− میرسند.
- رسانایی شاخهٔ مزبور غالب میشود و v به ولتاژ انتهای دیگر همان شاخه نزدیک میشود.
- جریان صفر یعنی v برابر ۳ ولت است. جایگذاری در KCL، J برابر ۱− میلیآمپر میدهد. با افزایش J، ولتاژ بالا میرود و تفاضل v − 3 از منفی به مثبت تغییر میکند.
خطاهای رایج: استفاده از اهم همراه با جریان بر حسب میلیآمپر، مثبت گرفتن جریانکش و فرض اینکه هر منبع ولتاژ همیشه توان میدهد. هر حل را با مرجع، پیکانها، واحدها و علامت J شروع کنید.