¶ ۲.۱ · حد از روی نمودار و جدول
English · برنامهٔ درسی · راهنمای هفتهٔ ۵ · فهرست درسها
¶ هدفهای یادگیری
حد متناهی را از دو سوی یک نقطه برآورد کنید، حد را از مقدار تابع جدا کنید و با دلیل نشان دهید چه زمانی حد دوسویه وجود ندارد. از جدول برای ساختن حدس استفاده کنید و سپس با رابطهٔ تابع یا نمودار از پاسخ خود دفاع کنید. در درس بعد، این مهارتها برای ترکیب حدهای ساده با قوانین حد به کار میآیند.
¶ حد چه چیزی را توصیف میکند؟
فرض کنید یک مدل کالیبراسیون برای همهٔ ورودیهای نزدیک ۳ به جز خود ۳ خروجی دارد. هنوز میتوان پرسید با نزدیکتر شدن ورودی به ۳، خروجیهای مدل به چه مقداری نزدیک میشوند. حد همین رفتارِ نزدیک نقطه را توصیف میکند. مقدار تابع در ۳، اگر تعریف شده باشد، فقط دربارهٔ یک ورودی مشخص است.
اگر با نزدیک شدن x از هر دو سو به a و با شرط x ≠ a، خروجیها به یک عدد متناهی L نزدیک شوند، مینویسیم limₓ→ₐ f(x) = L. برای حد چپ از ورودیهای x < a و برای حد راست از ورودیهای x > a استفاده کنید. اگر هر دو حد یکطرفه وجود داشته باشند و برابر L باشند، حد دوسویه L است. علامتهای بالا در x → a⁻ و x → a⁺ جهت نزدیک شدن را نشان میدهند و دربارهٔ علامت خروجی چیزی نمیگویند.
در جدول، علاوه بر خروجی، فاصلهٔ |x − a| را بررسی کنید. برای شروع از نقاط a ± 0.1 و a ± 0.01 و a ± 0.001 که در دامنه هستند نمونه بگیرید. دو سو را جدا کنید و دقت کافی نگه دارید. گرد کردن ممکن است یک پرش کوچک را پنهان کند. جدول محدود نمیتواند رفتار بین نمونهها را تعیین کند. از جدول حدس بزنید و سپس با رابطه آن را بررسی کنید.
¶ مثال ۱ · نمونهٔ گمشدهٔ کالیبراسیون
برای x ≠ 3 فرض کنید f(x) = (x² − 9)/(x − 3). ابتدا صورت را به (x − 3)(x + 3) تجزیه کنید. برای همهٔ ورودیهای دامنهٔ اصلی داریم f(x) = x + 3. شرط x ≠ 3 همچنان برقرار است.
| سمت | x | f(x) |
|---|---|---|
| چپ | ۲٫۹ | ۵٫۹ |
| چپ | ۲٫۹۹ | ۵٫۹۹ |
| راست | ۳٫۰۱ | ۶٫۰۱ |
| راست | ۳٫۱ | ۶٫۱ |
هر دو سمت به ۶ میرسند. تجزیه، الگو را برای هر ورودی نزدیک توضیح میدهد. خطای خروجی f(x) − 6 دقیقاً x − 3 است، پس ده برابر کوچک کردن خطای ورودی، خطای خروجی را هم ده برابر کوچک میکند. حد وجود دارد، گرچه کسر اولیه در ۳ تعریف نشده است. از تقسیم صفر بر صفر نمیتوان این نتیجه را گرفت.
¶ مثال ۲ · نقطهٔ پر خارج از منحنی
برای x ≠ 3 مقدار g(x) = x + 3 و در ۳ مقدار g(3) = 8 را در نظر بگیرید. در (۳، ۶) نقطهٔ باز و در (۳، ۸) نقطهٔ پر رسم کنید. ورودیهای نزدیک در مثال ۱ همان خروجیهای قبلی را دارند، پس حد هنوز ۶ است. مقدار تابع اکنون ۸ است. اگر نمایشگر درست در ورودی ۳ مقدار ۸ نشان دهد، روند دادههای نزدیک به آن نقطه عوض نمیشود.
¶ مثال ۳ · آستانهای با دو خروجی
یک کنترلگر ساده برای x < 0 خروجی ۲ ولت و برای x ≥ 0 خروجی ۵ ولت میدهد. در آستانه، حد چپ ۲ ولت و حد راست ۵ ولت است. چون این دو برابر نیستند، حد دوسویه وجود ندارد. مقدار تابع در صفر ۵ ولت است. تغییر همین مقدار به ۲ یا ۳٫۵ ولت، حدهای یکطرفه را تغییر نمیدهد. میانگین گرفتن از دو حد نیز خروجی نزدیک آستانه را پیشبینی نمیکند.
¶ مثال ۴ · انتهای دامنه
تابع حقیقی h(x) = √(x − 1) را بررسی کنید. در نزدیکی ۱ از راست، ورودیهای ۱٫۰۱ و ۱٫۰۰۰۱ بهترتیب خروجی ۰٫۱ و ۰٫۰۱ میدهند. حد راست صفر است، زیرا با کوچک شدن فاصلهٔ مثبت x − 1، ریشهٔ آن هم به صفر نزدیک میشود. سمت چپ ۱ نقطهای در دامنهٔ حقیقی ندارد. در این درس نماد بدون جهت برای حد دوسویه است، پس حد راست را صریح بنویسید.
¶ بررسی خطاهای رایج
- با جایگذاری به ۰/۰ رسیدید. دامنهٔ رابطهٔ اصلی را بررسی کنید. در صورت امکان تجزیه کنید و رابطهٔ سادهشده را در نقاط مجاز نزدیک به کار ببرید.
- در نمودار نقطهٔ پر دیده میشود. مقدار تابع را جدا از دو حد یکطرفه بنویسید و روند هر شاخه را بخوانید.
- اعداد جدول پایدار به نظر میرسند. از سمت دیگر هم نمونه بگیرید. دامنه و رابطهٔ دقیق شاخهها را بررسی کنید.
- دو سمت نتیجهٔ متفاوت دارند. هر دو نتیجه را بنویسید و دلیل نبود حد دوسویه را بیان کنید.
¶ تمرین
۱ تا ۶ را بدون پاسخها حل کنید. تمرینهای ۷ و ۸ اختیاریاند.
- حد 2x − 1 در ۴ را با دو نمونه از هر طرف برآورد کنید و از خطای خروجی برای توجیه استفاده کنید.
- حد (x² − 16)/(x − 4) در ۴ را بیابید. آیا تابع در خود ۴ تعریف شده است؟
- مقدار کسر تمرین ۲ را در ۴ برابر ۱− تعریف کنید. چه چیزی تغییر میکند؟
- اگر f(x) برای x < 2 برابر ۱ و در بقیهٔ نقاط برابر ۴ باشد، دو حد یکطرفه و f(2) را بیابید. آیا حد دوسویه وجود دارد؟
- دامنهٔ حقیقی و حد راست √(x − 2) در ۲ را بیابید. چرا جدول سمت چپ در دسترس نیست؟
- مدل حسگر در x < 0 برابر x + 1 و در x > 0 برابر 1 − x است و در صفر تعریف نشده است. دو حد را پیدا کنید و بگویید چه مقداری در صفر با آنها سازگار است.
- حدهای یکطرفهٔ |x − 1|/(x − 1) در ۱ را با دلیل علامت هر طرف پیدا کنید.
- در x = −0.1 و 0.1 هر دو خروجی ۲ هستند. حدهای دو مدل f(x) = 2 و g(x) = 1 + 100x² را در صفر مقایسه کنید. دو نمونه چه چیزی را ثابت میکنند؟
¶ پاسخهای تشریحی
- در ۳٫۹ و ۳٫۹۹ خروجیها ۶٫۸ و ۶٫۹۸ هستند. در ۴٫۰۱ و ۴٫۱ به ۷٫۰۲ و ۷٫۲ میرسند. خطای 2(x − 4) از دو طرف به صفر میرسد و حد ۷ است.
- برای x ≠ 4 کسر برابر x + 4 است، پس حد ۸ است. کسر اولیه در ۴ تعریف نشده است.
- فقط مقدار تابع به ۱− تغییر میکند و حد ۸ باقی میماند.
- حد چپ ۱، حد راست ۴ و f(2) = 4 است. حد دوسویه به دلیل نابرابری دو طرف وجود ندارد.
- دامنه [2, ∞) است. حد راست صفر است. ورودی x < 2 در دامنهٔ حقیقی نیست.
- هر دو شاخه به ۱ میرسند. حد ۱ است و f(0) = 1 با آن سازگار است.
- در چپ، صورت برابر −(x − 1) و کسر برابر ۱− است. در راست کسر ۱ است. حد دوسویه وجود ندارد.
- حدها بهترتیب ۲ و ۱ هستند. دو نمونه یکساناند، ولی برای تعیین حد کافی نیستند.