¶ ۲.۲ · قوانین حد و حالتهای مبهم
English · برنامهٔ درسی · راهنمای هفتهٔ ۶ · فهرست درسها
¶ هدفهای یادگیری
شرطهای قوانین حد را بررسی کنید، عبارت را در همسایگی نقطهٔ حذفشده ساده کنید و دو حد یکطرفه را با هم بسنجید. در پایان بتوانید توضیح دهید چرا حذف یک عامل، مقدارهای نزدیک نقطه را حفظ میکند، حتی اگر دامنهٔ فرمول سادهشده تغییر کند.
¶ ابتدا مخرج را بررسی کنید
حد به مقدارهای تابع در فاصلههای دلخواه کوچک از نقطه مربوط است. اگر دو فرمول در تمام ورودیهای نزدیک، بهجز خود نقطه، مقدار یکسانی بدهند، حدشان برابر است. مقدار تعریفشده در خود نقطه میتواند با حد متفاوت باشد.
برای حدهای متناهی L و M، حد جمع برابر جمع حدها، حد ضرب برابر حاصلضرب حدها و حد مضرب ثابت برابر همان مضرب حد است. قانون توان صحیح مثبت نیز برقرار است. حد خارجقسمت برابر L/M است به شرط M ≠ 0. بنابراین در چندجملهای و در کسرهایی که مخرجشان در نقطه صفر نمیشود، جایگذاری مستقیم کار میکند. در ریشهٔ دوم باید دامنهٔ حقیقی را رعایت کرد و عبارت زیر ریشه از مقدارهای نامنفی به حد نامنفی برسد. قانون ضرب به این دلیل کار میکند که هر دو عامل نزدیک حد خود و در همسایگی نقطه کراندارند. در قانون تقسیم نیز مخرجِ دارای حد ناصفر، به اندازهٔ کافی نزدیک نقطه از صفر دور میماند.
اگر جایگذاری به 0/0 برسد، حالت مبهم است. عبارتهایی با این حالت میتوانند حدهای متفاوت داشته باشند یا اصلاً حد دوسویه نداشته باشند. ابتدا یک همارزی معتبر بیرون از نقطه پیدا کنید و سپس مخرج جدید یا هر دو طرف را بررسی کنید. نمودار و جدول برای کنترل پیشبینی مفیدند، ولی چند نمونهٔ عددی بهتنهایی حد را اثبات نمیکند.
¶ چهار مثال حلشده
¶ ۱ · کسر با مخرج ناصفر
حد (2x² − x + 3)/(x + 2) را وقتی x → 1 بیابید. از قانونهای توان و جمع، حد صورت 2 − 1 + 3 = 4 و حد مخرج ۳ است. مخرج صفر نیست، پس حد کسر 4/3 است. برای بررسی، ورودیهای ۰٫۹۹ و ۱٫۰۱ را امتحان کنید. اختلاف اندک طبیعی است چون ورودی نمونهها با نقطهٔ هدف یکی نیست.
¶ ۲ · حفرهٔ رفعشدنی
برای q(x) = (x² − 16)/(x − 4)، جایگذاری ۴ به 0/0 میرسد. صورت را به (x − 4)(x + 4) تجزیه کنید. برای x ≠ 4 عامل مشترک حذف میشود و در دو طرف q(x) = x + 4 است. حد ۸ است و تابع اولیه در ۴ تعریف نشده. اگر تابع تازهای در ۴ مقدار ۱۲ بگیرد، حد همان ۸ میماند چون مقدارهای اطراف تغییری نکردهاند. ورودیهای ۳٫۹۹ و ۴٫۰۱ بهترتیب خروجی ۷٫۹۹ و ۸٫۰۱ دارند.
¶ ۳ · ضرب در مزدوج
حد (√(x + 9) − 3)/x را وقتی x → 0 بیابید. صورت و مخرج را در √(x + 9) + 3 ضرب کنید. صورت جدید (x + 9) − 9 = x است. برای ورودی نزدیک و ناصفر، کسر به 1/(√(x + 9) + 3) تبدیل میشود و حد آن 1/6 است. اطراف صفر، زیر ریشه مثبت است و هر دو طرف در دامنه قرار دارند. فرمول ساده همچنین از تفریق دو عدد تقریباً برابر در محاسبهٔ عددی جلوگیری میکند.
¶ ۴ · بررسی جداگانهٔ دو طرف
در حد |x − 2|/(x − 2) وقتی x → 2، در چپ قدرمطلق برابر −(x − 2) و در راست برابر x − 2 است. پس حد چپ ۱− و حد راست ۱+ است. به علت اختلاف دو طرف، حد دوسویه وجود ندارد. تعریف مقدار در ۲ هم این اختلاف را رفع نمیکند.
¶ کنترل استدلال
کنار هر عامل حذفشده، شرط دامنه را بنویسید. وقتی به 0/0 میرسید، توضیح دهید چرا تبدیل انتخابی در اطراف نقطه معتبر است. برای قدرمطلق یا تابع چندضابطهای دو طرف را جدا بررسی کنید. در یک مرور اختیاری، قضیهٔ فشردگی میگوید اگر دو کران با حد مشترک تابع را بین خود بگیرند، تابع همان حد را دارد. مثلاً −x² ≤ x² sin(1/x) ≤ x² و هر دو کران به صفر میرسند، پس تابع میانی نیز به صفر میرسد، هرچند سینوس بهتنهایی نوسان دارد. آزمایش این هفته روی روشهای جبری تمرکز دارد.
¶ تمرین و پاسخ تشریحی
۱. حد 3x² − 5x + 1 در ۲ چیست؟ پاسخ: با قوانین چندجملهای به 12 − 10 + 1 = 3 میرسیم.
۲. حد (x² + 1)/(2x + 1) در ۱ چیست؟ پاسخ: حد مخرج ۳ و ناصفر است، پس حد 2/3 است.
۳. حد (x² − 25)/(x − 5) را در ۵ و محدودیت دامنه را بیابید. پاسخ: صورت را به (x − 5)(x + 5) تجزیه کنید. عامل تنها برای x ≠ 5 حذف میشود. حد ۱۰ و ورودی ۵ حذف شده است.
۴. حد (√(x + 4) − 2)/x را در صفر بیابید. پاسخ: در مزدوج ضرب و برای ورودی ناصفر ساده کنید. حد عبارت معکوس 1/(2 + 2) = 1/4 است.
۵. حد (x + 1)/|x + 1| را در ۱− بیابید. پاسخ: حد چپ ۱− و راست ۱+ است، پس حد دوسویه وجود ندارد.
۶. اگر برای x ≠ 3، p(x) = (x² − 9)/(x − 3) و p(3) = 10 باشد، حد و مقدار چیست؟ پاسخ: فرمول نزدیک نقطه x + 3 است، پس حد ۶ و مقدار تعریفشده ۱۰ است.
۷. حد (x − 1)²/(x − 1) در ۱ چیست؟ پاسخ: برای x ≠ 1 عبارت به x − 1 کاهش مییابد که به صفر میل میکند. بنابراین حالت مبهم میتواند حد صفر داشته باشد.
۸. حد x³ cos(1/x) را در صفر با کرانها بیابید. پاسخ: قدرمطلق عبارت حداکثر |x|³ است که به صفر میل میکند. حد تابع با فشردگی صفر است.