برنامهٔ درسی · دوره · هفتهٔ ۳ · English
تابع وارون ورودی را از خروجی بازیابی میکند. برای وجود وارون باید تابع روی دامنهٔ انتخابشده یکبهیک باشد؛ هر خط افقی حداکثر یک برخورد با نمودار داشته باشد. جابهجایی مختصات هر نقطه نمودار را نسبت به y = x قرینه میکند. تابع نمایی در گامهای برابر ورودی با ضریب ثابتی تغییر میکند. لگاریتم توانی را پیدا میکند که یک مقدار مثبت را میسازد. با این ابزارها میتوان کالیبراسیون حسگر را برعکس کرد یا زمان رشد و افت را به دست آورد.
ابتدا y = f(x) را بنویسید، x را به دست آورید و نام متغیرها را جابهجا کنید. دامنهٔ وارون و ترکیب دو تابع را بررسی کنید. پیش از حل معادلهٔ لگاریتمی، مثبت بودن آرگومان را کنترل کنید. نماد f⁻¹ وارون و 1/f معکوس عددی است. در ax متغیر در توان و در xa متغیر در پایه قرار دارد.
مدل حسگر v = 2x + 1 برای 0 ≤ x ≤ 4 است. ورودی را بازیابی کنید.
رابطهٔ x = (v − 1)/2 با دامنهٔ 1 ≤ v ≤ 9 به دست میآید. در v = 7 ورودی ۳ است و جایگذاری خروجی ۷ را تأیید میکند.
آیا y = x² روی همهٔ اعداد حقیقی وارون دارد؟
ورودیهای ۲ و ۲− هر دو خروجی ۴ دارند. با محدود کردن دامنه به x ≥ 0، وارون f⁻¹(y) = √y برای y ≥ 0 تعریف میشود.
در مدل v(t) = 6e−t/2 زمان نصف شدن مقدار اولیه چقدر است؟
از 3 = 6e−t/2 داریم ln(1/2) = −t/2، پس t = 2 ln 2 ≈ 1.386 s. علامت منفی توان نشاندهندهٔ افت است.
نقطهٔ (۱،۳) روی خط آبی به (۳،۱) روی خط نارنجی تبدیل میشود. خط خاکستری محور تقارن است. دامنهٔ صفر تا ۴ با دامنهٔ وارون یعنی ۱ تا ۹ جابهجا میشود. مقیاس دو محور یکسان است.
مقدار اولیه ۶ ولت و مقدار در ۲ ثانیه حدود ۲٫۲۰۷ ولت است. منحنی بهتدریج به صفر نزدیک میشود. خط ارتفاع ۳ ولت را رسم کنید و زمان برخورد را با ۲ ضربدر لگاریتم طبیعی ۲ مقایسه کنید.
منحنی از نقاط (۱،۰)، (۲،۱)، (۴،۲) و (۸،۳) میگذرد. هر بار دو برابر شدن ورودی، خروجی را یک واحد افزایش میدهد. در ورودی صفر نقطهای وجود ندارد.
برای هر مسئله ابتدا دامنه یا واحدها را بنویسید. پس از بررسی پاسخ، یک عدد را تغییر دهید و نسخهٔ تازه را بدون نگاه کردن به پاسخ قبلی حل کنید.
برای بازیابی یکتای ورودی، ورودیهای مجاز متفاوت باید خروجی متفاوت بدهند. تابع یکبهیک روی برد خود وارون دارد. دامنه و برد در وارون جابهجا میشوند. نوشتن فرمول وارون بدون این مجموعهها ممکن است شاخهٔ دوم یا ورودی نامجاز را پنهان کند. رابطهٔ f⁻¹(f(x))=x فقط برای x در دامنهٔ اولیه بیان میشود.
حسگر روی 0≤x≤4 از v=1+0.5x² پیروی میکند. از v−1=0.5x² داریم x=√(2(v−1)). ریشهٔ مثبت را انتخاب میکنیم چون ورودی اولیه نامنفی است. برد ولتاژ 1≤v≤9 دامنهٔ وارون میشود. برای v=5.5، ورودی ۳ به دست میآید و جایگذاری 1+0.5(3²)=5.5 آن را تأیید میکند. اگر ورودی منفی نیز مجاز بود، همین قرائت با ±۳ متناظر میشد و وارون یکتا نبود. تابع 1/(1+0.5x²) معکوس عددی است و با وارون تفاوت دارد.
در y=A bˣ با b>0 و b≠1، افزایش یکواحدی x خروجی را b برابر میکند. در y=A ekt، افزایش زمانی Δt خروجی را ekΔt برابر میکند. واحد k معکوس زمان است تا توان بیبُعد باشد. عدد e≈2.71828 پایهٔ طبیعی مدلهای پیوسته است. ویژگیهای حسابانی آن بعداً بررسی میشود؛ فعلاً ابزار مناسبی برای بیان رشد و افت است.
برای u و v مثبت، ln(uv)=ln u+ln v، ln(u/v)=ln u−ln v و ln(uʳ)=r ln u. این قواعد برای جمع داخل لگاریتم معتبر نیستند. با گرفتن لگاریتم طبیعی از bʸ=x، رابطهٔ تغییر پایه log_b(x)=ln x/ln b به دست میآید. آرگومان لگاریتم حقیقی باید مثبت و پایه باید مثبت و غیر از یک باشد.
سیگنال v(t)=8 e−t/3 ولت است و t برحسب ثانیه. زمان رسیدن به ۱ ولت را بیابید. با تقسیم بر ۸ و گرفتن لگاریتم، ln(1/8)=−t/3 و در نتیجه t=3 ln 8≈6.238 s. ثابت زمانی ۳ ثانیه است و مقدار سیگنال در آن زمان 8/e≈2.943 V است، نه صفر. زمان نصفشدن 3 ln 2≈2.079 s است. این دو، دو نقطهٔ متفاوت روی یک منحنی هستند. فعلاً مدل ریاضی افت را بررسی میکنیم و نظریهٔ مدار RC لازم نیست.
معادلهٔ ln(x−1)+ln(x+1)=ln 8 را حل کنید. ابتدا شرط x>1 را بنویسید. سپس ln(x²−1)=ln 8 و x²=9. جوابهای جبری ±۳ هستند، ولی فقط ۳ دامنهٔ لگاریتمهای اولیه را رعایت میکند. جایگذاری ۳− در این مسئلهٔ حقیقی، لگاریتم عدد منفی میخواهد.
سؤالهای ۱ تا ۶ اصلی و ۷ و ۸ اختیاریاند.
خطاهای رایج: فراموشکردن شاخهٔ وارون، گرفتن لگاریتم ولتاژ بُعددار بهجای نسبت ولتاژ، یکی دانستن ثابت زمانی و زمان نصفشدن و قبول همهٔ ریشههای معادلهٔ تبدیلشده.
این درس خلاصهای با بیان مستقل و هماهنگ با موضوعهای زیر است. مراجعه به منابع برای مطالعهٔ بیشتر اختیاری است.