برنامهٔ درسی · دوره · هفتهٔ ۱ · English
تابع به هر ورودی مجاز دقیقاً یک خروجی نسبت میدهد. دامنه مجموعهٔ ورودیهای مجاز و برد مجموعهٔ خروجیهای بهدستآمده است. هر خط عمودی نمودار تابع را حداکثر در یک نقطه قطع میکند.
برای f(x) = 3 − 2x در بازهٔ [0, 4]، خروجی دو سر بازه ۳ و ۵− است. شیب ۲− است و تابع در کل بازه نزولی است، پس برد [−5, 3] است.
برای x ≠ 2، عبارت (x² − 4)/(x − 2) به x + 2 ساده میشود. خط را رسم کنید و در (2, 4) یک دایرهٔ توخالی بگذارید. صفر شدن مخرج، حتی بعد از سادهسازی، ورودی ۲ را از دامنه حذف میکند.
نمودار خط با حفره در ورودی ۲
دامنه و برد g(x) = x² را در بازهٔ [−2, 1] بیابید. دامنه همان بازه و برد [0, 4] است. با بررسی فقط دو سر بازه، کمینهٔ تابع در صفر از قلم میافتد.
فرمول روش محاسبه، جدول چند زوج ورودی و خروجی، و نمودار رفتار تابع روی دامنه را نشان میدهد. دو ورودی میتوانند یک خروجی داشته باشند. اگر یک ورودی دو خروجی متفاوت داشته باشد، رابطه تابع نیست. برای نمونه، در y = x² ورودیهای ۲− و ۲ خروجی یکسان دارند. اما در دایرهٔ x² + y² = 4، ورودی صفر دو خروجی ۲ و ۲− دارد.
| عبارت | بررسی دامنه | مثال |
|---|---|---|
| چندجملهای | همهٔ اعداد حقیقی مجازند | x² − 3 |
| کسر | صفرهای مخرج اصلی حذف میشوند | 1/(x − 3) در ۳ تعریف نشده |
| ریشهٔ دوم | عبارت زیر رادیکال نامنفی است | √(x − 2) برای x ≥ 2 |
برای f(x) = 2x + 1 روی [−1, 2]، بهترتیب برای ورودیهای ۱−، صفر، ۱ و ۲ خروجیهای ۱−، ۱، ۳ و ۵ به دست میآیند. نقاط را با پارهخط وصل کنید. هر دو سر بازه در نمودار هستند. تقاطع با محور عمودی (0, 1) و با محور افقی (−0.5, 0) است. برد [−1, 5] است و شیب ۲ یعنی به ازای هر واحد افزایش ورودی، خروجی دو واحد افزایش مییابد.
۱. شیب، ریشه و برد g(x) = 4 − x را روی [1, 5] پیدا کنید.
۲. دامنهٔ √(5 − x) و مقدار آن در ورودی ۱ را بیابید.
۳. آیا زوجهای (0, 1), (1, 1), (2, 3) تابعاند؟ با افزودن (1, 4) چه میشود؟
پاسخها. ۱. شیب ۱−، ریشه ۴، برد [−1, 3]. ۲. x ≤ 5، مقدار ۲. ۳. ابتدا تابع است. زوج جدید برای ورودی ۱ خروجی دوم میسازد.
خط آبی خروجی حسگری را نشان میدهد که با افزایش ورودی از صفر تا ۲، خروجی آن از ۱ تا ۵ ولت بالا میرود. تغییر خروجی ۴ ولت و تغییر ورودی ۲ واحد است، پس شیب ۲ ولت به ازای هر واحد ورودی است. مقدار اولیه ۱ ولت است. با محدود کردن ورودی به بازهٔ صفر تا ۲، خروجی بین ۱ تا ۵ ولت میماند.
خواندن نمودار. از سر چپ خط شروع کنید و تغییر افقی و عمودی را دنبال کنید. تغییر افقی ۲ واحد و افزایش عمودی ۴ ولت است. در وسط بازه خروجی ۳ ولت است. اگر حسگر از ۲ ولت شروع کند و شیب ثابت بماند، کل خط یک ولت بالاتر میرود و خروجی در ورودی ۲ به ۶ ولت میرسد.
پس از این درس باید بتوانید دامنه را با دلیل تعیین کنید، برد و همدامنه را تشخیص دهید، شیب را با واحد تفسیر کنید و نمودار را از روی رابطه توضیح دهید. این مهارتها پیشنیاز حد هستند، نه فقط واژههای حفظی.
نماد f: D → C دامنهٔ D و همدامنهٔ C را مشخص میکند. برد، بخشی از C است که واقعاً بهعنوان خروجی به دست میآید. برای f(x)=x² با ورودی و همدامنهٔ حقیقی، برد [0,∞) است. با محدودکردن ورودی به [−1,2]، برد به [0,4] تغییر میکند. فرمول بهتنهایی محدودهٔ کار فیزیکی را تعیین نمیکند.
در حسگر، x میتواند دما و خروجی ولتاژ باشد. یک ورودی از نظر ریاضی مجاز ممکن است بیرون از بازهٔ کالیبراسیون باشد. محدودیت ریاضی و فیزیکی را جدا بنویسید و اشتراک آنها را بگیرید. کروشه یعنی انتها در بازه هست و پرانتز یعنی آن انتها حذف شده است.
دامنهٔ حقیقی h(x)=√(x+2)/(x−1) را بیابید. رادیکال شرط x+2≥0 و در نتیجه x≥−2 دارد. مخرج نیز شرط x≠1 دارد. اشتراک این دو، [−2,1) ∪ (1,∞) است. در ۲− مخرج صفر نیست، پس آن نقطه در دامنه هست. در ۱ صورت تعریف شده ولی کسر تعریف نشده است. بررسی فقط یکی از این دو شرط کافی نیست.
حسگری در صفر درجهٔ سلسیوس ۰٫۵ ولت و در ۱۰۰ درجه ۲٫۵ ولت میدهد. فقط روی همین بازه پاسخ را خطی فرض کنید. شیب m=(2.5−0.5)/(100−0)=0.020 V/°C است. پس v(T)=0.020T+0.5 برای 0≤T≤100. در ۳۵ درجه، ولتاژ پیشبینیشده ۱٫۲۰ ولت و برد مدل [0.5,2.5] V است. قرائت ۲٫۹ ولت بیرون از برد کالیبراسیون است. استفاده از رابطه در ۱۲۰ درجه یک فرض اضافه است و از دو نقطهٔ دادهشده بهتنهایی نتیجه نمیشود.
بین دو ورودی متفاوت a و b، شیب خط قاطع (f(b)−f(a))/(b−a) است. برای f(x)=x² از ۱ تا ۳ مقدار (9−1)/(3−1)=4 به دست میآید. از ۱ تا ۲ مقدار ۳ است. خط راست بین هر دو ورودی متفاوت شیب یکسان دارد، ولی تابع درجهٔ دوم معمولاً ندارد. بعداً همین تفاوت به مفهوم مشتق میرسد؛ فعلاً قاعدهٔ مشتق لازم نیست.
برای هر پاسخ، محدودیت، محاسبه و تفسیر بنویسید. سؤالهای ۱ تا ۶ اصلی و ۷ و ۸ اختیاریاند و در زمان اضافه انجام میشوند.
خطاهای رایج: یکی دانستن برد و همدامنه، برگرداندن ورودی ممنوع پس از سادهسازی، حذف واحد شیب و قطعی دانستن برونیابی.