برنامهٔ درسی · دوره · هفتهٔ ۲ · English
تابع خطی نرخ تغییر ثابت دارد. تابع درجهٔ دوم نقطهٔ برگشت دارد. در تابع گویا ورودیهایی که مخرج را صفر میکنند از دامنه حذف میشوند. موج سینوسی پس از یک دوره تکرار میشود.
مثال ۱. برای f(x) = (x − 2)² − 1، رأس در نقطهٔ (2, −1) است. ریشهها ۱ و ۳ هستند چون فاصلهٔ x از ۲ باید ۱ باشد.
مثال ۲. برای v(t) = 3 sin(2πt)، دامنهٔ نوسان ۳ و دوره ۱ ثانیه است، چون زاویه هر ثانیه ۲π زیاد میشود. در یکچهارم دوره مقدار تابع ۳ است.
تمرین. دامنهٔ 1/(x − 3) و دورهٔ 2 sin(4πt) را بیابید. پاسخ: همهٔ اعداد حقیقی جز ۳، و نیم ثانیه.
| خانواده | نشانه | نمونهٔ مهندسی |
|---|---|---|
| خطی | گام‌های برابر ورودی، تغییرهای برابر در خروجی | کالیبراسیون حسگر ایده‌آل |
| درجهٔ دوم | رأس و تقارن نسبت به خط گذرنده از رأس | توان مقاومت بر حسب جریان در مقاومت ثابت |
| گویا | ممکن است مخرج بعضی ورودی‌ها را حذف کند | نسبت با مخرج صفر نامجاز |
| سینوسی | الگوی تکراری با دورهٔ ثابت | ولتاژ متناوب ایده‌آل |
برای v(t) = 2 + 4 sin(πt) خط میانی ۲ و دامنهٔ نوسان ۴ است. بیشینه ۶ و کمینه ۲− است. چون زاویه برای یک دور کامل باید ۲π زیاد شود، دوره ۲ ثانیه است. در زمانهای صفر، نیم، یک، یکونیم و دو ثانیه، خروجیها بهترتیب ۲، ۶، ۲، ۲− و ۲ هستند. این نقاط را به ترتیب رسم کنید. انتقال عمودی خط میانی را تغییر میدهد و دوره ثابت میماند.
۱. ریشههای 2x − 6 و x² − 9 را مقایسه کنید.
۲. دامنه و نقطهٔ حذفشدهٔ (x² − 1)/(x − 1) را بیابید.
۳. برای v(t) = −1 + 3 cos(4πt)، خط میانی، دامنهٔ نوسان، دوره و مقدار آغازین را بیابید.
پاسخها. ۱. خط: ۳. تابع درجهٔ دوم: ۳ و ۳−. ۲. همهٔ اعداد حقیقی بهجز ۱، با حفره در (1, 2). ۳. خط میانی ۱−، دامنه ۳، دوره نیم ثانیه و مقدار آغازین ۲.
منحنی آبی sin(2πt) و منحنی نارنجی 2 sin(2πt) است. هر دو پس از یک ثانیه تکرار میشوند، اما قلهٔ منحنی نارنجی دو برابر از خط میانی فاصله دارد. ضریب بیرون سینوس دامنه را تغییر میدهد. ضریب زاویه سرعت تکرار چرخه را تغییر میدهد.
خواندن نمودار. در یکچهارم دوره، مقدار منحنی آبی ۱ و منحنی نارنجی ۲ است. هر دو همزمان از خط میانی عبور میکنند. اگر منحنی نارنجی به 2 sin(4πt) تغییر کند، ارتفاع قله همچنان ۲ است ولی در یک ثانیه دو چرخه کامل میشود.
خانوادهٔ تابع، رفتار مدل را محدود میکند. چندجملهای برای همهٔ ورودیهای حقیقی تعریف میشود، اما کسر و ریشه ممکن است محدودیت داشته باشند. مجانب عمودی، نقطهای از نمودار نیست. حذف عامل مشترک ممکن است حفره بسازد. پیش از وصلکردن نقاط، محدودیتها را تعیین کنید.
در y=A f(B(x−h))+D، مقیاس عمودی |A|، انتقال عمودی D و انتقال افقی h است. برای B ناصفر، ضریب مقیاس افقی 1/|B| است، نه |B|. علامت منفی A نمودار را نسبت به محور افقی قرینه میکند و B منفی جهت افقی را برمیگرداند. ابتدا ورودی تبدیلشده را تحلیل کنید.
در r(x)=(x²−4)/(x²−x−2)، صورت (x−2)(x+2) و مخرج (x−2)(x+1) است. هر دو ورودی ۲ و ۱− حذف میشوند. در بقیهٔ نقاط r(x)=(x+2)/(x+1)=1+1/(x+1). در x=2 مقدار حذفشده ۴/۳ است و حفره داریم. نزدیک x=−1 مخرج باقیمانده به صفر میرود ولی صورت ناصفر میماند؛ بنابراین مجانب عمودی داریم. برای اندازهٔ بزرگ ورودی، نمودار به خط y=1 نزدیک میشود. سادهسازی، دامنهٔ اصلی را تغییر نمیدهد.
رادیان، نسبت طول کمان به شعاع است. یک دور 2π rad=360° است، پس θrad=θdeg π/180. نقطهٔ متناظر با زاویهٔ θ روی دایرهٔ واحد (cos θ,sin θ) است؛ بنابراین sin²θ+cos²θ=1. همچنین tan θ=sin θ/cos θ در نقاطی که کسینوس صفر نیست. دورهٔ تانژانت π و مجانبهای آن π/2+kπ برای k صحیح هستند. دورهٔ سینوس و کسینوس ۲π است.
برای v(t)=D+A sin(ωt+φ)، دامنهٔ نوسان |A|، فرکانس زاویهای |ω| رادیانبرثانیه، فرکانس f=|ω|/(2π) هرتز و دوره T=2π/|ω| است، به شرط ناصفر بودن ω. انتقال زمانی −φ/ω است. ورودی سینوس باید بیبُعد باشد؛ واحد رادیانبرثانیهٔ ω این معنی را روشن میکند.
سیگنال v(t)=1+2 cos(4πt−π/2) ولت و زمان برحسب ثانیه است. خط میانی ۱ ولت، دامنهٔ نوسان ۲ ولت، فرکانس ۲ هرتز و دوره ۰٫۵ ثانیه است. با نوشتن زاویه بهشکل 4π(t−1/8)، انتقال به راست ۰٫۱۲۵ ثانیه به دست میآید. در صفر خروجی ۱ ولت و در ۰٫۱۲۵ ثانیه ۳ ولت است. برد [−1,3] V است. کمینهٔ منفی یعنی قطبیت نسبت به مرجع، نه دامنهٔ نوسان منفی.
سؤالهای ۱ تا ۶ اصلی و ۷ و ۸ اختیاریاند. پیش از بررسی نرمافزاری، طرح دستی بکشید.
خطاهای رایج: حالت درجه در مسئلهٔ رادیانی، یکی دانستن فرکانس با فرکانس زاویهای و اشتباه گرفتن انتقال عمودی با دامنهٔ نوسان. هنگام نوشتن هرتز، محور زمان را با ثانیه مشخص کنید.