برنامهٔ درسی · دوره · هفتهٔ ۴ · English
در ترکیب توابع، خروجی یک تابع به ورودی تابع دیگر تبدیل میشود. دامنه باید شرط هر دو مرحله را داشته باشد. توابع مثلثاتی وارون از یک نسبت، زاویهٔ اصلی را بازیابی میکنند. برای نسبت سینوس یکسان، زاویههای متعددی وجود دارند؛ محدود کردن بازهٔ خروجی پاسخ را یکتا میکند. این هفته مرور توابع را پیش از شروع حد کامل میکند.
ابتدا تابع داخلی را حساب کنید و خروجی را در تابع بیرونی بگذارید. محدودیتهای دامنه را حفظ کنید. در حسابان از رادیان استفاده کنید. آرکسین ورودی بین ۱− و ۱ و خروجی بین −π/2 و π/2 دارد. بازهٔ آرککسین 0,π و آرکتانژانت (−π/2,π/2) است. در مدل مهندسی، واحدها را هم بررسی کنید.
برای f(u)=√u و g(x)=x−2، ترکیب را بیابید.
ترکیب √(x−2) شرط x≥2 دارد. ترتیب معکوس √x−2 با شرط x≥0 است.
arcsin(1/2) و arcsin(sin(5π/6)) را بیابید.
هر دو π/6 هستند. خروجی اصلی محدود است و عبارت دوم 5π/6 را برنمیگرداند.
کالیبراسیون v=0.5x+1 و خروجی نمایشگر d=10v است. مدل کامل چیست؟
مدل d(x)=5x+10 است. برای ورودی ۲، ولتاژ ۲ و نمایش ۲۰ میشود؛ هر مرحله جداگانه قابل بررسی است.
منحنی آبی از ورودی ۲ و منحنی نارنجی از ورودی صفر شروع میشود. پرانتز ترتیب عملیات را عوض میکند، پس نقطهٔ آغاز و دامنهٔ دو منحنی متفاوت است.
خروجی آبی تا π/۲ افزایش و سپس کاهش مییابد. در ورودی ۵π/۶، خروجی π/۶ است. خط همانی همچنان بالا میرود. این تفاوت نتیجهٔ محدودیت بازهٔ وارون است.
برای هر مسئله ابتدا دامنه یا واحدها را بنویسید. پس از بررسی پاسخ، یک عدد را تغییر دهید و نسخهٔ تازه را بدون نگاه کردن به پاسخ قبلی حل کنید.
برای h=f∘g، دامنه دقیقاً شامل xهایی است که g در آنها تعریف شود و خروجی g در دامنهٔ f باشد. بررسی فقط فرمول بیرونی ممکن است محدودیت مرحلهٔ داخلی را پنهان کند. ترکیب عموماً جابهجاییپذیر نیست. در نقاط تعریفشده شرکتپذیر است؛ یعنی گروهبندی یک زنجیرهٔ سهمرحلهای میتواند تغییر کند، ولی ترتیب عملیات ثابت میماند.
فرض کنید g(x)=√(x−1) و f(u)=u². حاصل جبری f(g(x))=x−1 است، ولی ترکیب اصلی هنوز x≥1 میخواهد. در ترتیب معکوس g(f(x))=√(x²−1)، شرط x≤−1 یا x≥1 است. دو ترکیب هم در فرمول و هم دامنه متفاوتاند. حتی اگر رابطهٔ سادهشده بدون محدودیت به نظر برسد، شرایط پیش از سادهسازی را نگه دارید.
سینوس تکرارشونده است و روی همهٔ اعداد حقیقی یکبهیک نیست. با محدودکردن آن به [−π/2,π/2] وارونپذیر میشود. بنابراین آرکسین ورودی [−1,1] را میپذیرد و فقط زاویهای در همان بازهٔ اصلی میدهد. خروجی آرککسین [0,π] و آرکتانژانت (−π/2,π/2) است. رابطهٔ sin(arcsin u)=u برای −1≤u≤1 برقرار است، ولی arcsin(sin θ)=θ فقط در بازهٔ اصلی آرکسین معتبر است.
معادلهٔ sin θ=1/2 را روی 0≤θ<2π حل کنید. مقدار اصلی π/6 است، ولی سینوس در ربع دوم هم مثبت است. جواب دوم π−π/6=5π/6 است. در بازهٔ دادهشده دقیقاً دو جواب داریم. دکمهٔ آرکسین ماشینحساب جواب اصلی را میدهد، نه همهٔ جوابها. برای cos θ=−√2/2 در همین بازه، جوابها 3π/4 و 5π/4 هستند.
حسگر از v(T)=0.02T+0.5 ولت روی 0≤T≤100 درجهٔ سلسیوس پیروی میکند. نمایشگر d(v)=100v شمارش میدهد، ولی بیش از ۲۰۰ شمارش نشان نمیدهد. ترکیب بدون اشباع d(T)=2T+50 است. سقف وقتی رخ میدهد که 2T+50=200، یعنی T=75. مدل واقعی برای 0≤T≤75 برابر d(T)=2T+50 و برای 75<T≤100 برابر d(T)=200 است. بالای ۷۵ درجه، دماهای متفاوت خروجی یکسان دارند؛ وارون یکتا نداریم. این از دسترفتن اطلاعات بر اثر اشباع است، نه اشکال جبر.
ابتدا دامنه، واحدها و مقدار دو انتها را بررسی کنید. سپس چند نقطهٔ داخلی و سازگاری با شرایط کار را کنترل کنید. در e−t/τ، واحد t و τ باید سازگار باشد. در ln(v/Vref) نسبت بیبُعد است. سازگاری بُعدی و نمودار زیبا بهتنهایی تطابق با سامانهٔ فیزیکی را اثبات نمیکنند؛ مقایسه با مشاهدهٔ مناسب نیز لازم است.
سؤالهای ۱ تا ۶ بخش اصلی مرور توابع و ۷ و ۸ اختیاریاند.
خطاهای رایج: حذف محدودیت تابع داخلی، گزارش فقط زاویهٔ اصلی بهجای همهٔ جوابها و وارونکردن یکتای مدل اشباعشده. زمانی برای حد آمادهاید که دامنه و رفتار هر مرحله را بدون اتکا به نمودار توضیح دهید.
این درس خلاصهای با بیان مستقل و هماهنگ با موضوعهای زیر است. مراجعه به منابع برای مطالعهٔ بیشتر اختیاری است.